Математика. Підготовка до ДПА : ТЕМА 14, 15, 16

НЕРІВНОСТІ

1. Основне поняття нерівності
Нерівність [inequality] - співвідношення між числами (або будь-якими математичними виразами, що можуть приймати чисельне значення), яке вказує, яке з них більше або менше іншого. Над цими висловами можна за певними правилами проводити наступні дії: додавання, віднімання, множення і ділення (причому при множенні або розподілі Н. на від'ємне число сенс його змінюється на протилежний). Одне з основних понять лінійного програмування - лінійні нерівності виду
a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ... + A _n x _n * b,
де a ₁ ,..., a _n, b - постійні і знак * - один із знаків нерівності, напр. ≥, <, ≤.
У матричній алгебрі знак ≥ означає що всі елементи матриці, розташованої ліворуч, не менше (а хоча б частину з них більше) відповіднихелементів матриці, розташованої праворуч. На відміну від цього знак ≤ означає, що всі елементи лівої матриці не менше відповідних елементів правої матриці; зокрема, всі відповідні елементи можуть бути попарно рівні. (Іноді застосовуються й інші позначення.)
2. Основні властивості числових нерівностей. Нерівності містять змінну
1) Якщо a> b, b <a;
2) Якщо a> b b> c a> c;
3) Якщо a> b a + c> b + c;
4) Якщо a + b> c a> cb;
5) Якщо обидві частини вірного нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то вийде вірне нерівність;
6) Якщо обидві частини вірного нерівності помножити на одне і те ж число і змінити знак на протилежний, то вийде вірне нерівність;
7) Безліч всіх х, при яких мають зміст виразу f (x) і g (x), називається областю визначення нерівності f (x)> g (x);
8) Два нерівності, що містять одну і ту ж змінну, називаються рівносильними, якщо вони мають спільне безліч рішень (безліч рішень цих нерівностей збігаються);
9) Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію J (x). область визначення якої містить область визначення нерівностей, то вийде нове нерівностей, рівносильну даним;
10) Якщо обидві частини нерівності f (x)> g (x) помножити (або розділити) на будь-яку функцію J (x), визначену для всіх значень змінної х з області визначення даного нерівності, зберігає постійний знак і відмінну від нуля, то при J (x)> 0 вийде нерівність, рівносильну даному, а при J (x) <0 рівносильним даним є нерівність протилежного знака.
Нерівності з однією змінною. Нехай дано нерівність f (x)> g (x). Будь-яке значення змінної, при якому таку нерівність з однією змінноюзвертається в правильне числове нерівність, називається рішенням нерівності з однією змінною. Вирішити нерівність зі змінною - означає знайти всі його рішення або довести, що їх немає.
Дві нерівності з однією змінною називаються рівносильними, якщо вирішення цих нерівностей збігаються.
3. Графічне рішення нерівностей другого ступеня
1) Графіком квадратичної функції y = ах ² + bх + с є парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а> 0, і вниз, якщо а <0 (іноді говорять, що парабола спрямована опуклістю вниз, якщо а> 0 і опуклістю вгору , якщо а <0). При цьому можливі три випадки:
2) Парабола перетинає вісь 0х (тобто рівняння ах ² + bх + с = 0 має два різні кореня). Тобто, якщо а <0 то рішенням нерівності є безліч [x1; x2].
y = ах ² + bх + з a> 0 D> 0 y = ах ² + bх + з a <0 D> 0,

Парабола має вершину на осі 0х (тобто рівняння ах ² + х + с = 0 має один корінь, так званий дворазовий корінь) Тобто, якщо d = 0, то при a> 0 рішенням нерівності служить вся числова пряма, а при a <0 єдина точка х1, яка є єдиним коренем квадратного тричлена ах ² + х + з
y = ах ² + bх + з a> 0 D = 0 y = ах ² + bх + з a <0 D = 0,

3) Якщо d <0 то графік квадратного тричлена f (x) = ах ² + bх + з не перетинає вісь Ох і лежить вище цієї осі при a> 0 і нижче її при a <0 У першому випадку безліч рішень нерівності є вся числова пряма, а в другому воно є порожнім.
4)
y = ах ² + bх + з a> 0 D <0 y = ах ² + bх + з a <0 D <0,