ТЕМА 13

СИСТЕМА РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ

Система рівнянь з двома змінними. Рівняння першого ступеня. Способи вирішення Рівняння може містити не одну, а дві змінних.

Зрозуміло, що такі рівняння називаються рівняннями з двома змінними. Система рівнянь це два і більше рівнянь, якими можна маніпулювати для знаходження спільних рішень.

Система з двох рівнянь вкючаются в себе дві змінних, значення яких є загальними для обох рівнянь. За допомогою одного рівняння системи вирішується інше, а в підсумку вирішуються обидва рівняння системи. Способи вирішення системи рівнянь першого ступеня. 

1. Рішення методом підстановки. Суть в тому, що в системі рівнянь вибираєте найбільш просте, в якому одну змінну висловлюєте через іншу.

Результат підставляєте в друге рівняння, завдяки чому перетворюєте його в більш просте рівняння з однією змінною. Обчислюєте це рівняння і отримуєте значення однієї із змінних.

Підставляється його в перше рівняння і отримуєте значення другої змінної. Так ви вирішуєте всю систему рівнянь. Перше рівняння системи простіше другого його і використовуємо. Висловимо в ньому x через у Підставляємо це значення x в наше друге рівняння і знаходимо значення yy = 0. Ми отримали значення y. Підставляємо його в наше перше рівняння і знаходимо тепер уже значення x. Ми знайшли значення обох змінних.

2. Рішення методом складання. Цей метод доцільно застосовувати, якщо при додаванні одне з невідомих пропадає. x. Розкриваємо дужки в обох рівняннях і зводимо подібні члени. У результаті в першому рівнянні пропадає у, в другому х. Ми отримуємо рівняння з однією змінною, які простіше вирішувати: Приклад вирішено.

Необов’язково виробляти взаємне додавання і віднімання двох рівнянь системи. Часто досить буває зробити одне з двох дій, щоб обчислити значення однієї з двох змінних. А знаючи одну змінну, ми вже легко зможемо знайти і другу. Вирішити систему рівнянь В обох рівняннях є число 4 у. Значить, можемо застосувати метод складання.

При цьому виробити не взаємне додавання, а здійснити лише одну дію: відняти з першого рівняння друге, щоб 4 у 2х + 4у 8х 4у = 26 44. Тепер можемо знайти і значення у, підставивши значення х: х = 3, у = 5. Однак розглянемо ще один приклад. Тут немає змінних з однаковими коефіцієнтами, щоб при відніманні вони зникли.

Що робити в цьому випадку? Для таких випадків придумано оригінальне рішення: помножимо почленно перше рівняння на 3, а другий на 5. Від цього істина не постраждає, тому що ми просто отримаємо рівносильні рівняння.

Зате завдяки цьому прийому у нас з’являться однакові змінні 15у: Отже, у нас з’явилися однакові змінні і ми можемо скласти два рівняння, щоб прийти до рівняння з однією змінною: Залишилось знайти значення другої змінної, підставивши значення х, наприклад, в перше рівняння системи: у = 3. : Х = 2; у = 3. Знову ж таки не завжди потрібно перетворювати обидва рівняння системи так, як було в попередньому прикладі. Буває й так, що достатньо змінити лише одне з рівнянь.

Вирішимо систему рівнянь: Тут досить друге рівняння помножити на 3. Тоді ми отримаємо число 3х, а при складанні двох рівнянь прийдемо до рівняння з однією змінною. Отже, множимо друге рівняння на 3:

Тепер складаємо два рівняння, приходимо до рівняння з однією змінною у 3х 4у 3х у = 2. І знаходимо значення х. Це простіше зробити в другому рівнянні: х = 5. : Х = 5; у = 2. 3. Рішення методом введення нової змінної. Вирішити систему рівнянь Перед нами система складних рівнянь, ускладнених дробовими числами. Наше завдання спростити їх, щоб потім вирішити. Якщо застосувати який-небудь з перших двох методів, вийдуть ще складніші рівняння.

Зате добре підходить метод введення нової змінної, завдяки якому ми цілу дріб можемо замінити однієї змінної. Як це зробити? Зверніть увагу: у перших чисел обох рівнянь однакові знаменники х 3у, при цьому їх чисельники діляться на 2. У другому чисел теж однакові знаменники 2х + у, а їх чисельники діляться на 3. Цим і скористаємося.

1) Випишемо знову нашу систему рівнянь, розклавши на множники числители другого рівняння і винісши їх за дріб: Тепер в обох рівняннях у нас абсолютно однакові перші дроби і абсолютно однакові другого дробу. 

2) Замінимо ці дроби новими змінними a і b = а, = b. Так ми суттєво спрощуємо рівняння, які знаходять зовсім інший вигляд: а + b 4 а 3 b 

3) Застосовуємо вже відомий нам метод підстановки. Перше рівняння простіше, тому спочатку висловлюємо в ньому а через b а = 2 b. Підставляємо отримане значення а в друге рівняння, розкриваємо дужки, наводимо подібні члени і обчислюємо чисельне значення b 4 g (2 b) 3 b 4 серпня b 3 b 8 липня b 7 b 7 bb Раз нам відомо чисельне значення b, то ми легко можемо знайти і чисельне значення а. Це простіше зробити за допомогою першого рівняння: а + b а а а = 1. а = 1, b = 1. Вписуємо в дробу ці значення а і b

4) Перетворимо ці рівняння за відомим вам правилом: невідомі вліво, відомі вправо:

5) Вирішуємо цю систему рівнянь знову за допомогою методу підстановки. Для цього в першому рівнянні х висловлюємо через у х = 2 + 3у.

Підставляємо в друге рівняння і знаходимо у І з допомогою першого рівняння знаходимо х х = 11/7. Ми знайшли значення х і у в нашій вихідної системі рівнянь а значить, вирішили її. : Х = 11/7, у = 1/7 

ПРИМІТКА.

Як видно з цього прикладу, нерідкі випадки, коли при вирішенні системи рівнянь треба послідовно застосувати відразу кілька методів.