ТЕМА 20

Геометрична прогресія на прикладах

Геометрична прогресія не менш важлива в математиці порівняно з арифметичною. Геометричною прогресією називають таку послідовність чисел , кожен наступний член якої, отримується множенням попереднього на стале число. Конcтанту, яка характеризує швидкість росту або спадання прогресії називають знаменником геометричної прогресії і позначають

Для повного задання геометричної прогресії окрім знаменника необхідна знати або визначити перший її член. Для додатних значень знаменника прогресія є монотонною послідовністю, причому якщо  топослідовність чисел є монотонно спадною і при  монотонно зростаючою. Випадок, коли знаменник рівний одиниці  на практиці не розглядається, оскільки маємо послідовність однакових чисел, а їх сумування не важке

Загальний член геометричної прогресії знаходять за формулою

Суму n перших членів геометричної прогресії визначають за формулою

Розглянемо розв'язки класичних задач на геометричну прогресію. Почнемо для розуміння теорії з найпростіших.

-------------------------------

Приклад 1.

 Перший член геометричної прогресії дорівнює 27, а її знаменник рівний 1/3. Знайти шість перших членів геометричної прогресії.

Розв'язання: Запишемо умову задачі у вигляді

Для обчислень використовуємо формулу n-го члена геометричної прогресії

На її основі знаходимо невідомі члени ряду

Як можна переконатися, обчислення членів геометричної прогресії нескладні. Сама прогресія матиме вигляд

-----------------------------

Приклад 2.

 Дано три перших члени геометричної прогресії : 6; -12; 24. Знайти знаменник та сьомий її член.

Розв'язання: Обчислюємо знаменник геометричної прогресії виходячи з його означення

Отримали знакозмінну геометричну прогресію знаменник якої рівний -2. Сьомий член обчислюємо за формулою

На цьому задача розв'язана.

-------------------------------------

Приклад 3. 

У геометричній прогресії  задано двома членами ряду. Знайти десятий член прогресії.

Розв'язання:

Запишемо задані значення через формули

За правилами потрібно було б знайти знаменник а потім шукати потрібне значення, але для десятого члена маємо

Таку ж формулу можна отримати на основі нехитрих маніпуляцій з вхідними даними. Поділимо шостий член ряду на другий, в результаті отримаємо

Якщо отримане значення помножити на шостий член, то отримаємо десятий

Таким чином для подібних задач за допомогою нескладних перетворень в швидкий спосіб можна отримати правильний розв'язок.

----------------------------------------

Приклад 4. 

Геометричну прогресію задано рекурентними формулами

Знайти знаменник геометричної прогресії та суму перших шести членів.

Розв'язання:

Запишемо задані рівняння у вигляді формул

Та виразимо знаменник розділивши друге рівняння на перше

Знайдемо перший член прогресії з першого рівняння

Обчислимо наступні п'ять членів для знаходження суми геометричної прогресії

Оскільки знайти суму в даному випадку не складає великих зусиль то, оминаючи прості пояснення, зводимо всі доданки під спільний знаменник